Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x + 1}{\sqrt{x + 4}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x + 4$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x + 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{2 (u - 4) + 1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 (u - 4) + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (2 (u - 4) + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 (u - 4) + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int (2 (u - 4) + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (2 (u - 4) + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Espandi $(2 (u - 4) + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (2 u + 2 \cdot - 4 + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int (2 u + 2 \cdot - 4) u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int 2 u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.4

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int 2 (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 2 u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int 2 u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int 2 u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.8

Sottrai $1$ da $2$ .

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.9

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} - 8 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.10

Moltiplica $u^{- \frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} - 8 u^{- \frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.11

Somma $- 8 u^{- \frac{1}{2}}$ e $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 7$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - 7 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - 7 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

$2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.2

Riscrivi $2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ come $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.3

Moltiplica $- 7$ per $2$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - 14 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 4$ .

$\frac{4}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} - 14 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + C$