Calcolo Esempi

\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Passaggio 1

Non è stato possibile completare questo integrale usando il metodo del cambio di variabili. Mathway userà un metodo diverso.

Passaggio 2

Scrivi l'integrale come un limite per

t

$t$ tendente a

- \infty

$- \infty$ .

lim t \to - \infty \int_{t}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Passaggio 3

Riscrivi

16

$16$ come

4^{2}

$4^{2}$ .

lim t \to - \infty \int_{t}^{0} \frac{1}{4^{2} + x^{2}} d x

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{4^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 4

L'integrale di

\frac{1}{4^{2} + x^{2}}

$\frac{1}{4^{2} + x^{2}}$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{1}{4} arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}

$\frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$ .

lim t \to - \infty \frac{1}{4} arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ e

arctan (\frac{x}{4})

$\arctan (\frac{x}{4})$ .

lim t \to - \infty \frac{arctan (\frac{x}{4})}{4}]_{t}^{0}

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}]_{t}^{0}$

Passaggio 5.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Calcola

\frac{arctan (\frac{x}{4})}{4}

$\frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}$ per

0

$0$ e per

t

$t$ .

lim t \to - \infty ⎛ ⎜ ⎝ \frac{arctan (\frac{0}{4})}{4} ⎞ ⎟ ⎠ - \frac{arctan (\frac{t}{4})}{4}

$lim_{t \to - \infty} (\frac{\arctan (\frac{0}{4})}{4}) - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di

0

$0$ e

4

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi

4

$4$ da

0

$0$ .

lim t \to - \infty \frac{arctan (\frac{4 (0)}{4})}{4} - \frac{arctan (\frac{t}{4})}{4}

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 (0)}{4})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Scomponi

4

$4$ da

4

$4$ .

lim t \to - \infty \frac{arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{arctan (\frac{t}{4})}{4}

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Passaggio 5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Passaggio 5.2.2.2.4

Dividi

$0$ per

$1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0)}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Passaggio 6

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Combina le frazioni usando un comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0) - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Il valore esatto di

$\arctan (0)$ è

$0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{0 - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Passaggio 6.1.2.2

Sottrai

$\arctan (\frac{t}{4})$ da

$0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Passaggio 6.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Passaggio 6.2

Sposta il termine

$- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

$t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Passaggio 6.3

Sposta il termine

$\frac{1}{4}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

$t$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (\frac{t}{4})$

Passaggio 6.4

Il limite a meno infinito di un polinomio con grado dispari il cui coefficiente direttivo è meno infinito.

$- \frac{1}{4} - \infty$

Passaggio 6.5

Sostituisci

$t$ a

$\frac{t}{4}$ e lascia che

$t$ tenda a

$- \infty$ , poiché

$lim_{t \to - \infty} \frac{t}{4} = - \infty$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (t)$

Passaggio 6.6

Il limite per

$t$ tendente a

$- \infty$ è

$- \frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1 \frac{π}{2}$

Passaggio 6.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Moltiplica

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{π}{2}$

Passaggio 6.7.1.2

Moltiplica

$\frac{1}{4}$ per

$1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 6.7.2

Moltiplica

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1

Moltiplica

$\frac{1}{4}$ per

$\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{4 \cdot 2}$

Passaggio 6.7.2.2

Moltiplica

$4$ per

$2$ .

$\frac{π}{8}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π}{8}$

Forma decimale:

$0.39269908 \dots$