Calcolo Esempi

$\int x {(4 x - 1)}^{4} d x$

Passaggio 1

Non è stato possibile completare questo integrale usando il metodo del cambio di variabili. Mathway userà un metodo diverso.

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa il teorema binomiale.

$\int x ({(4 x)}^{4} + 4 {(4 x)}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola del prodotto a $4 x$ .

$\int x (4^{4} x^{4} + 4 {(4 x)}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Passaggio 2.2.2

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$\int x (256 x^{4} + 4 {(4 x)}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola del prodotto a $4 x$ .

$\int x (256 x^{4} + 4 (4^{3} x^{3}) \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $4$ per $4^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Sposta $4^{3}$ .

$\int x (256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4 x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $4^{3}$ per $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $1$ .

$\int x (256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4^{1} x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Passaggio 2.2.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x (256 x^{4} + 4^{3 + 1} x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Passaggio 2.2.4.3

Somma $3$ e $1$ .

$\int x (256 x^{4} + 4^{4} x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Passaggio 2.2.5

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$\int x (256 x^{4} + 256 x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $- 1$ per $256$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Passaggio 2.2.7

Applica la regola del prodotto a $4 x$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 6 (4^{2} x^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Passaggio 2.2.8

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 6 (16 x^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $16$ per $6$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Passaggio 2.2.10

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} \cdot 1 + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Passaggio 2.2.11

Moltiplica $96$ per $1$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Passaggio 2.2.12

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} + 16 x {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Passaggio 2.2.13

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} + 16 x \cdot - 1 + {(- 1)}^{4}) d x$

Passaggio 2.2.14

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} - 16 x + {(- 1)}^{4}) d x$

Passaggio 2.2.15

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} - 16 x + 1) d x$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int x (256 x^{4}) + x (- 256 x^{3}) + x (96 x^{2}) + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\int 256 x \cdot x^{4} + x (- 256 x^{3}) + x (96 x^{2}) + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + x (96 x^{2}) + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

Passaggio 2.4.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

Passaggio 2.4.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x \cdot 1 d x$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Passaggio 2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Sposta $x^{4}$ .

$\int 256 (x^{4} x) - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 256 (x^{4} x^{1}) - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Passaggio 2.5.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 256 x^{4 + 1} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Passaggio 2.5.1.3

Somma $4$ e $1$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$\int 256 x^{5} - 256 (x^{3} x) + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Passaggio 2.5.2.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 256 x^{5} - 256 (x^{3} x^{1}) + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Passaggio 2.5.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 256 x^{5} - 256 x^{3 + 1} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Passaggio 2.5.2.3

Somma $3$ e $1$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 (x^{2} x) - 16 x \cdot x + x d x$

Passaggio 2.5.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 (x^{2} x^{1}) - 16 x \cdot x + x d x$

Passaggio 2.5.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{2 + 1} - 16 x \cdot x + x d x$

Passaggio 2.5.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{3} - 16 x \cdot x + x d x$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Sposta $x$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{3} - 16 (x \cdot x) + x d x$

Passaggio 2.5.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{3} - 16 x^{2} + x d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 256 x^{5} d x + \int - 256 x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Passaggio 4

Poiché $256$ è costante rispetto a $x$ , sposta $256$ fuori dall'integrale.

$256 \int x^{5} d x + \int - 256 x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - 256 x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Passaggio 6

Poiché $- 256$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 256$ fuori dall'integrale.

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 \int x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Passaggio 8

Poiché $96$ è costante rispetto a $x$ , sposta $96$ fuori dall'integrale.

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 \int x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Passaggio 10

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 16$ fuori dall'integrale.

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 \int x^{2} d x + \int x d x$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x$

Passaggio 12

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

$\frac{1}{6}$ e $x^{6}$ .

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 13.1.2

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 13.1.3

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 96 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 13.1.4

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 96 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 16 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 13.2

Semplifica.

$\frac{128 x^{6}}{3} - \frac{256 x^{5}}{5} + 24 x^{4} - \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$\frac{128}{3} x^{6} - \frac{256}{5} x^{5} + 24 x^{4} - \frac{16}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$