Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{4}}}}{x^{5}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{1}{x^{4}}$ . Allora $d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ , quindi $1 d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{1}{x^{4}}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 1.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$- 4 x^{- 5}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 1.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

$- 4$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}}$

Passaggio 1.1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{x^{5}}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \frac{1}{x^{4}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{1^{4}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Passaggio 1.3.2

Dividi $1$ per $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \frac{1}{x^{4}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2^{4}}$

Passaggio 1.5

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} e^{u} d u$

Passaggio 2

Poiché $- \frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- \frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{4} \int_{1}^{\frac{1}{16}} e^{u} d u$

Passaggio 3

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{16}}$

Passaggio 4

Calcola $e^{u}$ per $\frac{1}{16}$ e per $1$ .

$- \frac{1}{4} ((e^{\frac{1}{16}}) - e^{1})$

Passaggio 5

Semplifica.

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{16}} - e)$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{4} \cdot (e^{\frac{1}{16}} - e)$

Forma decimale:

$0.41344684 \dots$