Calcolo Esempi

$\int_{\ln (2)}^{\ln (8)} \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + e^{x}$ . Allora $d u = e^{x} d x$ , quindi $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + e^{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $e^{x}$ .

$e^{x}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{lower} = 1 + e^{\ln (2)}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$u_{lower} = 1 + 2$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$u_{lower} = 3$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{upper} = 1 + e^{\ln (8)}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$u_{upper} = 1 + 8$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $8$ .

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{3}^{9} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{3}^{9}$

Passaggio 3

Calcola $\ln (| u |)$ per $9$ e per $3$ .

$(\ln (| 9 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 4

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 9 |}{| 3 |})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $9$ è $9$ .

$\ln (\frac{9}{| 3 |})$

Passaggio 5.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\ln (\frac{9}{3})$

Passaggio 5.3

Dividi $9$ per $3$ .

$\ln (3)$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (3)$

Forma decimale:

$1.09861228 \dots$