Calcolo Esempi

$\int x e^{3 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{u}{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{u}{3}$ e $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{3} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{u e^{u}}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{3 \cdot 3} d u$

Passaggio 2.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\int \frac{u e^{u}}{9} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{9}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{9} \int u e^{u} d u$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{9} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Passaggio 5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{9} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Passaggio 6

Semplifica.

$\frac{1}{9} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$\frac{1}{9} (3 x e^{3 x} - e^{3 x}) + C$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{9} (3 x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{1}{3 (3)} (3 x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Passaggio 8.2.2

Scomponi $3$ da $3 x e^{3 x}$ .

$\frac{1}{3 (3)} (3 (x e^{3 x})) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Passaggio 8.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3 \cdot 3} (3 (x e^{3 x})) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Passaggio 8.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Passaggio 8.3

$x$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x}{3} e^{3 x} + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Passaggio 8.4

$\frac{x}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Passaggio 8.5

$\frac{1}{9}$ e $e^{3 x}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9} + C$

Passaggio 9

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$