Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{{(1 - 6 t)}^{4}} d t$

Passaggio 1

Sia $u = 1 - 6 t$ . Allora $d u = - 6 d t$ , quindi $- \frac{1}{6} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 - 6 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - 6 t$ .

$\frac{d}{d t} [1 - 6 t]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 6 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [- 6 t]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 6 t$ rispetto a $t$ è $- 6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$0 - 6$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $6$ da $0$ .

$- 6$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 6} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{u^{4}} (- \frac{1}{6}) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{1}{u^{4}}$ per $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{1}{u^{4} \cdot 6} d u$

Passaggio 2.3

Sposta $6$ alla sinistra di $u^{4}$ .

$\int - \frac{1}{6 u^{4}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{6 u^{4}} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u)$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $u^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{- 4} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 4}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{1}{6} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ come $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ .

$- \frac{1}{6} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

Passaggio 7.2

Riscrivi $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ come $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$ .

$- \frac{1}{6} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $u^{3}$ .

$- \frac{1}{6} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Passaggio 7.3.4

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{1}{6 (3 u^{3})} + C$

Passaggio 7.3.5

Moltiplica $3$ per $6$ .

$\frac{1}{18 u^{3}} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - 6 t$ .

$\frac{1}{18 {(1 - 6 t)}^{3}} + C$