Calcolo Esempi

$\int_{1}^{3} (x + 1) e^{x^{2} + 2 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + 2 x$ . Allora $d u = (2 x + 2) d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 x + 2$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{2} + 2 x$ .

$u_{lower} = 1^{2} + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$u_{lower} = 3$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{2} + 2 x$ .

$u_{upper} = 3^{2} + 2 \cdot 3$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 9 + 2 \cdot 3$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$u_{upper} = 9 + 6$

Passaggio 1.5.2

Somma $9$ e $6$ .

$u_{upper} = 15$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 15$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{3}^{15} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{3}^{15} \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{15} e^{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{u}]_{3}^{15}$

Passaggio 5

Calcola $e^{u}$ per $15$ e per $3$ .

$\frac{1}{2} (e^{15} - e^{3})$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2} \cdot (e^{15} - e^{3})$

Forma decimale:

$1634498.64346759$