Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Passaggio 1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1

Calcola $\frac{1}{4} u^{4}$ per $\frac{1}{2}$ e per $1$ .

$- ((\frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi $\frac{1}{4}$ come $4^{- 1}$ .

$- (4^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- ({(2^{2})}^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 4.2.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{2 \cdot - 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- (2^{- 2} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 4.2.5

Riscrivi $\frac{1}{2}$ come $2^{- 1}$ .

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 4.2.6

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$- (2^{- 2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 4.2.7

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{- 2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 4.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 4.2.9

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{- 1})}^{4}$ .

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Passaggio 4.2.9.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 1 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 4.2.9.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 4.2.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- (2^{- 2 - 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 4.2.11

Sottrai $4$ da $- 2$ .

$- (2^{- 6} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 4.2.12

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{1}{2^{6}} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 4.2.13

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4})$

Passaggio 4.4

Semplifica.

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Passaggio 4.4.1

Per scrivere $- \frac{1}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{16})$

Passaggio 4.4.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $64$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{16}{16}$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{4 \cdot 16})$

Passaggio 4.4.2.2

Moltiplica $4$ per $16$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{64})$

Passaggio 4.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1 - 16}{64}$

Passaggio 4.4.4

Sottrai $16$ da $1$ .

$- \frac{- 15}{64}$

Passaggio 4.4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{15}{64}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{15}{64})$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $\frac{15}{64}$ per $1$ .

$\frac{15}{64}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{15}{64}$

Forma decimale:

$0.234375$