Calcolo Esempi

$\int (2 x + 1) \sqrt{x - 5} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x - 5$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x - 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (2 (u + 5) + 1) \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (2 (u + 5) + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Espandi $(2 (u + 5) + 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (2 u + 2 \cdot 5 + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int (2 u + 2 \cdot 5) u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int 2 u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.4

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int 2 (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 2 u^{1 + \frac{1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int 2 u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int 2 u^{\frac{2 + 1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.8

Somma $2$ e $1$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.9

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 10 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.10

Moltiplica $u^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 10 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.11

Somma $10 u^{\frac{1}{2}}$ e $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 11 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.12

Riordina $2 u^{\frac{3}{2}}$ e $11 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 11 u^{\frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 11 u^{\frac{1}{2}} d u + \int 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 5

Poiché $11$ è costante rispetto a $u$ , sposta $11$ fuori dall'integrale.

$11 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$11 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$11 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$11 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

$11 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 9.2

Riscrivi $11 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$ come $\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 9.3

Semplifica.

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Passaggio 9.3.1

$2$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 5$ .

$\frac{22}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} + C$