Calcolo Esempi

$\int x^{3} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 4 - x^{2}$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 4 - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int {\sqrt{- u + 4}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${\sqrt{- u + 4}}^{2}$ come $- u + 4$ .

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Passaggio 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- u + 4}$ come ${(- u + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(- u + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(- u + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int {(- u + 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int {(- u + 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int {(- u + 4)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

$\int (- u + 4) \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (- u + 4) \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 2.3

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int (- u + 4) (- \frac{\sqrt{u}}{2}) d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int (- u + 4) (\frac{\sqrt{u}}{2}) d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int (- u + 4) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \int - u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 5.2

$- u$ e $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{- u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 5.3

Metti in evidenza il valore negativo.

$- \int \frac{- (u \cdot u^{\frac{1}{2}})}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 5.4

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$- \int \frac{- (u^{1} u^{\frac{1}{2}})}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 5.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \int \frac{- u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 5.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \int \frac{- u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 5.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \int \frac{- u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 5.8

Somma $2$ e $1$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 5.9

$4$ e $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{4 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{4 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 6.2

Scomponi $2$ da $4 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (2 u^{\frac{1}{2}})}{2} d u$

Passaggio 6.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (2 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} d u$

Passaggio 6.3.2

Elimina il fattore comune.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (2 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} d u$

Passaggio 6.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 u^{\frac{1}{2}}}{1} d u$

Passaggio 6.3.4

Dividi $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- (\int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int 2 u^{\frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- (- \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int 2 u^{\frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (- (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u) + \int 2 u^{\frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int 2 u^{\frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 11

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + 2 \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 12

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

$- (- \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$- (- \frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x^{2}$ .

$- (- \frac{1}{5} {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

Passaggio 16

Semplifica.

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Passaggio 16.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 16.1.1

${(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{1}{5}$ .

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

Passaggio 16.1.2

$\frac{4}{3}$ e ${(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Passaggio 16.2

Per scrivere $- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Passaggio 16.3

Per scrivere $\frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Passaggio 16.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 16.4.1

Moltiplica $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Passaggio 16.4.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Passaggio 16.4.3

Moltiplica $\frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5}) + C$

Passaggio 16.4.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15}) + C$

Passaggio 16.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{- {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3 + 4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + C$

Passaggio 16.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 16.6.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{- 3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + 4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + C$

Passaggio 16.6.2

Moltiplica $5$ per $4$ .

$- \frac{- 3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Passaggio 16.7

Scomponi $- 1$ da $- 3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{- (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Passaggio 16.8

Scomponi $- 1$ da $20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{- (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) - (- 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

Passaggio 16.9

Scomponi $- 1$ da $- (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) - (- 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{- (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

Passaggio 16.10

Riscrivi $- (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ come $- 1 (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{- 1 (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

Passaggio 16.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Passaggio 16.12

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Passaggio 16.13

Moltiplica $\frac{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15}$ per $1$ .

$\frac{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Passaggio 17

Riordina i termini.

$\frac{1}{15} (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$