Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{x (1 + x^{2})} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (1 + x^{2})$ .

$\frac{1 (x (1 + x^{2}))}{x (1 + x^{2})} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x (1 + x^{2}))}{x (1 + x^{2})} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Elimina il fattore comune di $1 + x^{2}$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.1.5.1.2

Dividi $A (1 + x^{2})$ per $1$ .

$1 = A (1 + x^{2}) + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A x^{2} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.1.5.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.1.5.4

Elimina il fattore comune di $1 + x^{2}$ .

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Passaggio 1.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A + A x^{2} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.1.5.4.2

Dividi $(B x + C) (x)$ per $1$ .

$1 = A + A x^{2} + (B x + C) (x)$

Passaggio 1.1.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A + A x^{2} + B x \cdot x + C x$

Passaggio 1.1.5.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.5.6.1

Sposta $x$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x \cdot x) + C x$

Passaggio 1.1.5.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$1 = A + A x^{2} + B x^{2} + C x$

Passaggio 1.1.6

Sposta $A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = C$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A$

Passaggio 1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'equazione come $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

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Passaggio 1.3.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4

Risolvi per $B$ in $0 = 1 + B$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 1.3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Passaggio 1.3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{1 + x^{2}}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1 x + 0}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x + 0}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.5.2.1

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- x + 0}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2

Somma $- x$ e $0$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{x} - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 5.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |) + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

$\ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2}$ .

$\ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$