Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} x e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Allora $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i fattori in $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Passaggio 1.3.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- 1^{2}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = e^{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{upper} = e^{- 1}$

Passaggio 1.5.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{\frac{1}{e}}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Calcola $- \frac{1}{2} u_{2}$ per $\frac{1}{e}$ e per $1$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{e}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 4.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 4.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.31606027 \dots$