Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} 2 x^{2} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{3} + 1$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = x^{3} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{3} + 1$ .

$u_{lower} = 1^{3} + 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = 1 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{lower} = 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{3} + 1$ .

$u_{upper} = 2^{3} + 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $8$ e $1$ .

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{2}^{9} 2 \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\int_{2}^{9} \frac{2}{3} \sqrt{u} d u$

Passaggio 2.2

$\frac{2}{3}$ e $\sqrt{u}$ .

$\int_{2}^{9} \frac{2 \sqrt{u}}{3} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} \int_{2}^{9} \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \int_{2}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{9}$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $9$ e per $2$ .

$\frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

$\frac{2}{3}$ e $27$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $2$ per $27$ .

$\frac{2}{3} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.3

Elimina il fattore comune di $54$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Scomponi $3$ da $54$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.3.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

$2^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Passaggio 6.4.2

Moltiplica $2^{\frac{3}{2}}$ per $2$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Moltiplica $2^{\frac{3}{2}}$ per $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{1}}{3})$

Passaggio 6.4.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2} + 1}}{3})$

Passaggio 6.4.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3})$

Passaggio 6.4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3 + 2}{2}}}{3})$

Passaggio 6.4.2.4

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2}{3} \cdot (18 - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Forma decimale:

$10.74292127 \dots$