Calcolo Esempi

$\int (3 y - 1) \sqrt{3 y^{2} - 2 y} d y$

Passaggio 1

Sia $u = 3 y^{2} - 2 y$ . Allora $d u = (6 y - 2) d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = (3 y - 1) d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 3 y^{2} - 2 y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 y^{2} - 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} - 2 y]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 y^{2} - 2 y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 y^{2}$ rispetto a $y$ è $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 y + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 y$ rispetto a $y$ è $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 y - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 y - 2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$6 y - 2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2

Riscrivi $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ come $\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 y^{2} - 2 y$ .

$\frac{1}{3} {(3 y^{2} - 2 y)}^{\frac{3}{2}} + C$