Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \sec (2 x)$ . Allora $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \sec (2 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\sec (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{2} = \sec (2 x)$ .

$u_{lower} = \sec (2 \cdot 0)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Passaggio 1.3.2

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{2} = \sec (2 x)$ .

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{6})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 (3)})$

Passaggio 1.5.1.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Passaggio 1.5.1.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.5.2

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{3})$ è $2$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 2

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1

Calcola $\frac{1}{2} u_{2}$ per $2$ e per $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 - 1}{2}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$