Calcolo Esempi

$\int \frac{- 20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Non è stato possibile completare questo integrale usando il metodo del cambio di variabili. Mathway userà un metodo diverso.

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

Passaggio 4

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , sposta $20$ fuori dall'integrale.

$- (20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x)$

Passaggio 5

Moltiplica $20$ per $- 1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

Passaggio 6

Sia $x = \frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7}$ è positivo.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica $\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{7}}$ per $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{7}}$ per $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.2.2

Eleva $\sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.2.3

Eleva $\sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{7}}^{2}$ come $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.2.6.5

Calcola l'esponente.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.3

$\frac{5 \sqrt{7}}{7}$ e $\sin (t)$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7} \sin (t)}{7})}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.4

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5 \sqrt{7} \sin (t)}{7}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{{(5 \sqrt{7} \sin (t))}^{2}}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.4.2

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{7} \sin (t)$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{{(5 \sqrt{7})}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.4.3

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{7}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{5^{2} {\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.5.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 {\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.5.2

Riscrivi ${\sqrt{7}}^{2}$ come $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.5.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.5.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.5.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.5.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{1} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.5.2.5

Calcola l'esponente.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7 \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.5.3

Moltiplica $25$ per $7$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.6

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{175 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.7

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.7.1

Scomponi $7$ da $- 7$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 (- 1) \frac{175 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.7.2

Scomponi $7$ da $49$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 \cdot - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 \cdot - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.8

Elimina il fattore comune di $175$ e $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.8.1

Scomponi $7$ da $175 \sin^{2} (t)$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.8.2.1

Scomponi $7$ da $7$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7 (1)}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7 \cdot 1}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{25 \sin^{2} (t)}{1}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.8.2.4

Dividi $25 \sin^{2} (t)$ per $1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 (25 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.1.9

Moltiplica $25$ per $- 1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $25$ da $25$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.3

Scomponi $25$ da $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.4

Scomponi $25$ da $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.6

Riscrivi $25 \cos^{2} (t)$ come ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- 20 \int \frac{1}{5 \cos (t)} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{1}{5 \cos (t)}$ per $\frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7}$ .

$- 20 \int \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{5 \cos (t) \cdot 7} d t$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $7$ per $5$ .

$- 20 \int \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{35 \cos (t)} d t$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $5$ e $35$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Scomponi $5$ da $5 \sqrt{7} \cos (t)$ .

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{35 \cos (t)} d t$

Passaggio 7.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

Scomponi $5$ da $35 \cos (t)$ .

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{5 (7 \cos (t))} d t$

Passaggio 7.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{5 (7 \cos (t))} d t$

Passaggio 7.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 20 \int \frac{\sqrt{7} \cos (t)}{7 \cos (t)} d t$

Passaggio 7.2.4

Elimina il fattore comune di $\cos (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 20 \int \frac{\sqrt{7} \cos (t)}{7 \cos (t)} d t$

Passaggio 7.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 20 \int \frac{\sqrt{7}}{7} d t$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$- 20 (\frac{\sqrt{7}}{7} t + C)$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi $- 20 (\frac{\sqrt{7}}{7} t + C)$ come $- 20 \frac{\sqrt{7}}{7} t + C$ .

$- 20 \frac{\sqrt{7}}{7} t + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

$- 20$ e $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$\frac{- 20 \sqrt{7}}{7} t + C$

Passaggio 9.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} t + C$

Passaggio 9.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{5})$ .

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{5}) + C$

Passaggio 9.4

Riordina i termini.

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{5} x) + C$