Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'espressione usando gli esponenti.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 4 x^{2}}} d x$

Passaggio 1.2

Riscrivi $4 x^{2}$ come ${(2 x)}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ rispetto a $u$ è $\arcsin (u)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u) + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \arcsin (u) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (2 x) + C$