Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Passaggio 1

Sia $u = \cos (t)$ . Allora $d u = - \sin (t) d t$ , quindi $- d u = \sin (t) d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \cos (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $t$ in $u = \cos (t)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Passaggio 1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $t$ in $u = \cos (t)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u^{- 2} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1}]_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}})$

Passaggio 6

Calcola $- u^{- 1}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ e per $1$ .

$- ((- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{- 1}) + 1^{- 1})$

Passaggio 7

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$- (- \frac{2}{\sqrt{3}} + 1^{- 1})$

Passaggio 8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (- \frac{2}{\sqrt{3}} + 1)$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- (- \frac{2}{\sqrt{3}} + 1)$

Forma decimale:

$0.15470053 \dots$