Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{8 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 - 4 x^{2}$ . Allora $d u = - 8 x d x$ , quindi $\frac{1}{- 8 x} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 - 4 x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$0 - 8 x$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $8 x$ da $0$ .

$- 8 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0^{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 {(\frac{1}{4})}^{2}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Passaggio 1.5.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1}{4^{2}}$

Passaggio 1.5.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 1 - 4 (\frac{1}{16})$

Passaggio 1.5.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 1.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$u_{upper} = 1 + 4 (- 1) \frac{1}{16}$

Passaggio 1.5.1.4.2

Scomponi $4$ da $16$ .

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = 1 - 1 (\frac{1}{4})$

Passaggio 1.5.1.5

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{4})$ come $- (\frac{1}{4})$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.5.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

Passaggio 1.5.4

Sottrai $1$ da $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}})$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $\frac{3}{4}$ e per $1$ .

$- ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Forma decimale:

$0.26794919 \dots$