Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{1 + 2 x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + 2 x^{2}$ . Allora $d u = 4 x d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + 2 x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$0 + 4 x$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $4 x$ .

$4 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Moltiplica $2$ per $2^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1.1

Moltiplica $2$ per $2^{2}$ .

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Passaggio 1.5.1.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

Passaggio 1.5.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

Passaggio 1.5.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Passaggio 1.5.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $8$ .

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $9$ e per $1$ .

$\frac{1}{4} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.4

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{4} (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{4} (6 - 2 \cdot 1)$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1}{4} (6 - 2)$

Passaggio 6.3.4

Sottrai $2$ da $6$ .

$\frac{1}{4} \cdot 4$

Passaggio 6.4

Semplifica.

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Passaggio 6.4.1

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$\frac{4}{4}$

Passaggio 6.4.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 6.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{4}$

Passaggio 6.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1$