Calcolo Esempi

$\int \frac{1 + x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 1

Dividi la frazione $\frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ in due frazioni.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C$ .

$\arctan (x) + C + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 5.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\arctan (x) + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

$\arctan (x) + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2}$ .

$\arctan (x) + \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$