Calcolo Esempi

$\int (5 x^{2} - 3) (2 x) d x$

Passaggio 1

Sposta $2$ alla sinistra di $5 x^{2} - 3$ .

$\int 2 (5 x^{2} - 3) x d x$

Passaggio 2

Sia $u = 2 (5 x^{2} - 3)$ . Allora $d u = 20 x d x$ , quindi $\frac{1}{20} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 2 (5 x^{2} - 3)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $2 (5 x^{2} - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [2 (5 x^{2} - 3)]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 (5 x^{2} - 3)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$ .

$2 \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Passaggio 2.1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$2 (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.1.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.1.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.1.6

Moltiplica $2$ per $5$ .

$2 (10 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.1.7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (10 x + 0)$

Passaggio 2.1.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1.8.1

Somma $10 x$ e $0$ .

$2 (10 x)$

Passaggio 2.1.8.2

Moltiplica $10$ per $2$ .

$20 x$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u \frac{1}{20} d u$

Passaggio 3

$u$ e $\frac{1}{20}$ .

$\int \frac{u}{20} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{20}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{20}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{20} \int u d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{20} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ come $\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Passaggio 6.2

Riscrivi $\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ come $\frac{1}{40} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{40} u^{2} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 (5 x^{2} - 3)$ .

$\frac{1}{40} {(2 (5 x^{2} - 3))}^{2} + C$