Calcolo Esempi

$\int x \sqrt{1 - x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - (- u + 1) \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int (- u + 1) \sqrt{u} d u$

Passaggio 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int (- u + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4

Espandi $(- u + 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \int - u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.2

Metti in evidenza il valore negativo.

$- \int - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.3

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$- \int - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \int - u^{1 + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \int - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \int - u^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.7

Somma $2$ e $1$ .

$- \int - u^{\frac{3}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.8

Moltiplica $u^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- \int - u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.9

Riordina $- u^{\frac{3}{2}}$ e $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Passaggio 9

Semplifica.

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$- (\frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.1.1

$\frac{2}{3}$ e ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5} {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 11.1.2

${(1 - x)}^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{2}{5}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

Passaggio 11.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(1 - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Passaggio 11.2

Per scrivere $\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Passaggio 11.3

Per scrivere $- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Passaggio 11.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 11.4.1

Moltiplica $\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Passaggio 11.4.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Passaggio 11.4.3

Moltiplica $\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

Passaggio 11.4.4

Moltiplica $5$ per $3$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

Passaggio 11.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Passaggio 11.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.6.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$- \frac{10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Passaggio 11.6.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- \frac{10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 12

Riordina i termini.

$- \frac{1}{15} (10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$