Calcolo Esempi

$\int x \sqrt{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + 4$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2

Riscrivi $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ come $\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C$