Calcolo Esempi

$\int {(1 + \frac{1}{t})}^{3} (\frac{1}{t^{2}}) d t$

Passaggio 1

${(1 + \frac{1}{t})}^{3}$ e $\frac{1}{t^{2}}$ .

$\int \frac{{(1 + \frac{1}{t})}^{3}}{t^{2}} d t$

Passaggio 2

Sia $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Allora $d u = - \frac{1}{t^{2}} d t$ , quindi $- d u = \frac{1}{t^{2}} d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 + \frac{1}{t}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \frac{1}{t}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Riscrivi $\frac{1}{t}$ come $t^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 - t^{- 2}$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{t^{2}}$

Passaggio 2.1.4.2

Sottrai $\frac{1}{t^{2}}$ da $0$ .

$- \frac{1}{t^{2}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - u^{3} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int u^{3} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Passaggio 5

Riscrivi $- (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ come $- \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$- \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + \frac{1}{t}$ .

$- \frac{1}{4} {(1 + \frac{1}{t})}^{4} + C$