Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} x \sqrt{x - 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x - 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Passaggio 1.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 2 - 1$

Passaggio 1.5

Sottrai $1$ da $2$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{1} (u + 1) \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} (u + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Espandi $(u + 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{0}^{1} u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{0}^{1} u^{1 + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.6

Somma $2$ e $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.7

Moltiplica $u^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Passaggio 7

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$ e $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1

Calcola $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $1$ e per $0$ .

$(\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2}{5} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.3

Moltiplica $\frac{2}{5}$ per $1$ .

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 8.5

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Per scrivere $\frac{2}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 9.2

Per scrivere $\frac{2}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 9.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 9.3.1

Moltiplica $\frac{2}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 9.3.3

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 9.3.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 9.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 9.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.5.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 9.5.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{6 + 10}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 9.5.3

Somma $6$ e $10$ .

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 10.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 10.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 10.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{5} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 10.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 11

Moltiplica $\frac{2}{5}$ per $0$ .

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 12.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 12.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 12.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 12.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 12.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

Passaggio 13

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $0$ .

$\frac{16}{15} - (0 + 0)$

Passaggio 13.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{16}{15} - 0$

Passaggio 13.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{16}{15} + 0$

Passaggio 13.4

Somma $\frac{16}{15}$ e $0$ .

$\frac{16}{15}$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{16}{15}$

Forma decimale:

$1.0\overline{6}$

Forma numero misto:

$1 \frac{1}{15}$