Calcolo Esempi

$\int \cos^{5} (x) d x$

Passaggio 1

Metti in evidenza $\cos^{4} (x)$ .

$\int \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

Passaggio 2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\cos (x)}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$\int {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Passaggio 3

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\cos^{2} (x)$ come $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Passaggio 4

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Passaggio 5

Espandi ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi ${(1 - u^{2})}^{2}$ come $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Passaggio 5.5

Sposta $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Passaggio 5.6

Sposta $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.7

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.10

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.11

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.12

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Passaggio 5.13

Somma $2$ e $2$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 5.14

Sottrai $u^{2}$ da $- u^{2}$ .

$\int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 5.15

Riordina $- 2 u^{2}$ e $u^{4}$ .

$\int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Passaggio 5.16

Sposta $1$ .

$\int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

Passaggio 8

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

$\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{5} (x)}{5} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{2}{3} \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$