Calcolo Esempi

$\int (6 x^{2} + x) \csc^{2} (4 x^{3} + x^{2}) d x$

Passaggio 1

Sia $u = 4 x^{3} + x^{2}$ . Allora $d u = (12 x^{2} + 2 x) d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = (6 x^{2} + x) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 4 x^{3} + x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $4 x^{3} + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} + x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 x^{2} + 2 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \csc^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$\csc^{2} (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\csc^{2} (u)}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \csc^{2} (u) d u$

Passaggio 4

Poiché la derivata di $- \cot (u)$ è $\csc^{2} (u)$ , l'integrale di $\csc^{2} (u)$ è $- \cot (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \cot (u) + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

$\frac{1}{2} (- \cot (u)) + C$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{2}$ e $\cot (u)$ .

$- \frac{\cot (u)}{2} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{3} + x^{2}$ .

$- \frac{\cot (4 x^{3} + x^{2})}{2} + C$

Passaggio 7

Riordina i termini.

$- \frac{1}{2} \cot (4 x^{3} + x^{2}) + C$