Calcolo Esempi

$\int (x + 1) \sqrt{2 - x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 - x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (- (- u + 2) - 1) \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (- (- u + 2) - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Espandi $(- (- u + 2) - 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (- - u - 1 \cdot 2 - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int (- - u - 1 \cdot 2) u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int - - u u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.4

Sposta le parentesi.

$\int - - 1 u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int 1 u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.6

Moltiplica $u$ per $1$ .

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.7

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.9

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.11

Somma $2$ e $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.12

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.13

Sottrai $1 u^{\frac{1}{2}}$ da $- 2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - 3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

$- 3$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 6}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $3$ .

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Passaggio 8.2.3.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 - x$ .

$\frac{2}{5} {(2 - x)}^{\frac{5}{2}} - 2 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} + C$