Calcolo Esempi

$\int x \sqrt{x - 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x - 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (u + 1) \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Espandi $(u + 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.6

Somma $2$ e $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.7

Moltiplica $u^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7

Semplifica.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$\frac{2}{5} {(x - 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$