Calcolo Esempi

$\int x \sqrt{2 x + 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x + 1$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{u}$ .

$\int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{u}{2}$ per $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 3.3

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 3.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 3.7

Somma $2$ e $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 3.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Passaggio 3.9

$- \frac{1}{2}$ e $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} d u$

Passaggio 3.10

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 10.2

Riscrivi $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ come $\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 10.3

Semplifica.

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Passaggio 10.3.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 10.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $12$ .

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Passaggio 10.3.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 10.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 10.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 10.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 1$ .

$\frac{1}{10} {(2 x + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{6} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$