Calcolo Esempi

$\int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Allora $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i fattori in $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 2

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} u_{2} + C$

Passaggio 3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{x^{3}}$ .

$\frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$