Calcolo Esempi

$\int \sin (t) \sqrt{1 + \cos (t)} d t$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + \cos (t)$ . Allora $d u = - \sin (t) d t$ , quindi $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + \cos (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + \cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (t)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \cos (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Passaggio 1.1.3

La derivata di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $- \sin (t)$ .

$0 - \sin (t)$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $\sin (t)$ da $0$ .

$- \sin (t)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 5

Riscrivi $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + \cos (t)$ .

$- \frac{2}{3} {(1 + \cos (t))}^{\frac{3}{2}} + C$