Calcolo Esempi

$e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2}$

Passaggio 1

Scrivi $e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2}$ come funzione.

$f (x) = e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2} d x$

Passaggio 4

Poiché $y^{- 2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $y^{- 2}$ fuori dall'integrale.

$y^{- 2} \int e^{2 x - 1} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 2 x - 1$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 2 x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 5.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y^{- 2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 6

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{- 2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y^{- 2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{- 2}$ .

$\frac{y^{- 2}}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 8.2

Sposta $y^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 y^{2}} \int e^{u} d u$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{2 y^{2}} (e^{u} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$\frac{1}{2 y^{2}} e^{u} + C$

Passaggio 10.2

$\frac{1}{2 y^{2}}$ e $e^{u}$ .

$\frac{e^{u}}{2 y^{2}} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 1$ .

$\frac{e^{2 x - 1}}{2 y^{2}} + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{e^{2 x - 1}}{2 y^{2}} + C$