Calcolo Esempi

$4 \int \frac{1}{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{1^{2} - x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 1.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 1.1.7.1.2

Dividi $(A) (1 - x)$ per $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 1.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 1.1.7.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 1.1.7.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 1.1.7.5

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 1.1.7.5.2

Dividi $(B) (1 + x)$ per $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Passaggio 1.1.7.6

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Passaggio 1.1.7.7

Moltiplica $B$ per $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Passaggio 1.1.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Sposta $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Passaggio 1.1.8.2

Riordina $B$ e $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Passaggio 1.1.8.3

Sposta $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Passaggio 1.1.8.4

Sposta $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 1.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = - 1 A + B$ con $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica $- 1 (1 - B) + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1 (- B)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3.2

Moltiplica $B$ per $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Somma $B$ e $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = - 1 + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 1$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{1}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 1 - B$ con $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica $1 - (\frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.3.4.2.1.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{1 - x}$ .

$4 \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$4 (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Passaggio 4

Sia $u_{1} = 1 + x$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u_{1} = 1 + x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Passaggio 7

Sia $u_{2} = 1 - x$ . Allora $d u_{2} = - d x$ , quindi $- d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u_{2} = 1 - x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 7.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{2} |) + C)))$

Passaggio 11

Semplifica.

$4 (\frac{\ln (| u_{1} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C$

Passaggio 12

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 12.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 + x$ .

$4 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C$

Passaggio 12.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 - x$ .

$4 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{\ln (| 1 + x |) - \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Passaggio 13.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Passaggio 13.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Passaggio 13.3.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Passaggio 13.3.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C$