Calcolo Esempi

$x^{2} = 4 y^{3} + 5 y^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (4 y^{3} + 5 y^{2})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 y^{3} + 5 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 y^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$12 y^{2} y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$12 y^{2} y' + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 y y')$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$12 y^{2} y' + 10 y y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 x = 12 y^{2} y' + 10 y y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$ .

$12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$

Passaggio 5.2

Scomponi $2 y y'$ da $12 y^{2} y' + 10 y y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $2 y y'$ da $12 y^{2} y'$ .

$2 y y' (6 y) + 10 y y' = 2 x$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $2 y y'$ da $10 y y'$ .

$2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5 = 2 x$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $2 y y'$ da $2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5$ .

$2 y y' (6 y + 5) = 2 x$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 y (6 y + 5)$ ciascun termine in $2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 y (6 y + 5)$ ciascun termine in $2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ .

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Passaggio 5.3.2.3

Elimina il fattore comune di $6 y + 5$ .

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Passaggio 5.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x}{y (6 y + 5)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y (6 y + 5)}$