Calcolo Esempi

$\int \frac{3 (1 - \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)} d x$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} d x$

Passaggio 2

Sia $u = \tan (x)$ . Allora $d u = \sec^{2} (x) d x$ , quindi $- d u = - \sec^{2} (x) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = \tan (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$3 \int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 \int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 \int 1 (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica $1 - u^{2}$ per $1$ .

$3 \int 1 - u^{2} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$3 (\int d u + \int - u^{2} d u)$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$3 (u + C + \int - u^{2} d u)$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 (u + C - \int u^{2} d u)$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Passaggio 8

Semplifica.

$3 (u - \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$3 (\tan (x) - \frac{1}{3} \tan^{3} (x)) + C$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

$\tan^{3} (x)$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 (\tan (x) - \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Passaggio 10.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 \tan (x) + 3 (- \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Passaggio 10.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\tan^{3} (x)}{3}$ nel numeratore.

$3 \tan (x) + 3 \frac{- \tan^{3} (x)}{3} + C$

Passaggio 10.3.2

Elimina il fattore comune.

$3 \tan (x) + 3 \frac{- \tan^{3} (x)}{3} + C$

Passaggio 10.3.3

Riscrivi l'espressione.

$3 \tan (x) - \tan^{3} (x) + C$