Calcolo Esempi

$y = - \frac{1}{5} x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{3} - 3 x^{- 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{5} x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{3} - 3 x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- \frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{5} x^{- 4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$- \frac{1}{5} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$4 (\frac{1}{5}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.4

$4$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.5

$\frac{4}{5}$ e $x^{- 5}$ .

$\frac{4 x^{- 5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.6

Sposta $x^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.3

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.4

$\frac{3}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} - 3 (- x^{- 2})$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x^{- 2}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.2

$3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.3

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{5 x^{5}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{5 x^{5}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.3

$2$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.5

$\frac{6}{2}$ e $x$ .

$\frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.6

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$\frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.2.6.2.4

Dividi $3 x$ per $1$ .

$3 x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 x + 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$3 x + 3 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$3 x + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$3 x + 3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$3 x + 3 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x + 3 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 3 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$3 x + 3 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 x + 3 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x + 3 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x + 3 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$3 x + 3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.3.10

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $\frac{4}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4}{5 x^{5}}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{5}}$ come ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{5}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 2.4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 2.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{5}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 2.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Passaggio 2.4.5.2

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Passaggio 2.4.7

Moltiplica $x^{- 10}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.1

Sposta $x^{4}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Passaggio 2.4.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Passaggio 2.4.7.3

Sottrai $10$ da $4$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{- 6})$

Passaggio 2.4.8

$- 5$ e $\frac{4}{5}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 5 \cdot 4}{5} x^{- 6}$

Passaggio 2.4.9

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20}{5} x^{- 6}$

Passaggio 2.4.10

$\frac{- 20}{5}$ e $x^{- 6}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20 x^{- 6}}{5}$

Passaggio 2.4.11

Sposta $x^{- 6}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20}{5 x^{6}}$

Passaggio 2.4.12

Elimina il fattore comune di $- 20$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.12.1

Scomponi $5$ da $- 20$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{6}}$

Passaggio 2.4.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.12.2.1

Scomponi $5$ da $5 x^{6}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 (x^{6})}$

Passaggio 2.4.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{6}}$

Passaggio 2.4.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 4}{x^{6}}$

Passaggio 2.4.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 x - 6 x^{- 3} - \frac{4}{x^{6}}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x - 6 \frac{1}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$

Passaggio 2.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

$- 6$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$3 x + \frac{- 6}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$

Passaggio 2.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 3 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$