Calcolo Esempi

$\tan (x y) = x$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (\tan (x y)) = \frac{d}{d y} (x)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \tan (y)$ e $g (y) = x y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\sec^{2} (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\sec^{2} (x y) (x + y x')$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sec^{2} (x y) x + \sec^{2} (x y) (y x')$

Passaggio 2.5.2

Riordina i termini.

$x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x'$

Passaggio 3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x' = x'$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x'$ .

$x \sec^{2} (x y) + y x' \sec^{2} (x y) = x'$

Passaggio 5.2

Sottrai $x'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \sec^{2} (x y) + y x' \sec^{2} (x y) - x' = 0$

Passaggio 5.3

Sottrai $x \sec^{2} (x y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x' \sec^{2} (x y) - x' = - x \sec^{2} (x y)$

Passaggio 5.4

Scomponi $x'$ da $y x' \sec^{2} (x y) - x'$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $x'$ da $y x' \sec^{2} (x y)$ .

$x' (y \sec^{2} (x y)) - x' = - x \sec^{2} (x y)$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $x'$ da $- x'$ .

$x' (y \sec^{2} (x y)) + x' \cdot - 1 = - x \sec^{2} (x y)$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $x'$ da $x' (y \sec^{2} (x y)) + x' \cdot - 1$ .

$x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$

Passaggio 5.5

Dividi per $y \sec^{2} (x y) - 1$ ciascun termine in $x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $y \sec^{2} (x y) - 1$ ciascun termine in $x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$ .

$\frac{x' (y \sec^{2} (x y) - 1)}{y \sec^{2} (x y) - 1} = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $y \sec^{2} (x y) - 1$ .

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Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (y \sec^{2} (x y) - 1)}{y \sec^{2} (x y) - 1} = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$