Calcolo Esempi

$f (x) = | x | - 3 | x + 1 |$ , $[- 2, 2]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $| x | - 3 | x + 1 |$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [- 3 | x + 1 |]$ .

$\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [- 3 | x + 1 |]$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $| x |$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [- 3 | x + 1 |]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 | x + 1 |]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 | x + 1 |$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [| x + 1 |]$ .

$\frac{x}{| x |} - 3 \frac{d}{d x} [| x + 1 |]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 1.1.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 1.1.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 1.1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 1.1.1.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0))$

Passaggio 1.1.1.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1)$

Passaggio 1.1.1.3.7

Moltiplica $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ per $1$ .

$\frac{x}{| x |} - 3 \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Passaggio 1.1.1.3.8

$- 3$ e $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ .

$\frac{x}{| x |} + \frac{- 3 (x + 1)}{| x + 1 |}$

Passaggio 1.1.1.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{x}{| x |} - \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{| x |} - \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |}$ .

$\frac{x}{| x |} - \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x}{| x |} - \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x}{| x |} - \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |} = 0$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $\frac{x}{| x |}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |} = - \frac{x}{| x |}$

Passaggio 1.2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$| x + 1 |, | x |$

Passaggio 1.2.3.2

Poiché $| x + 1 |, | x |$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile ${| x + 1 |}^{1}, {| x |}^{1}$ .

Passaggio 1.2.3.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.2.3.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.2.3.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 1.2.3.6

Il fattore di ${| x + 1 |}^{1}$ è $| x + 1 |$ stesso.

${| x + 1 |}^{1} = | x + 1 |$

$| x + 1 |$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.2.3.7

Il fattore di ${| x |}^{1}$ è $| x |$ stesso.

${| x |}^{1} = | x |$

$| x |$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.2.3.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di ${| x + 1 |}^{1}, {| x |}^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$| x + 1 | | x |$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica per $| x + 1 | | x |$ ciascun termine in $- \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |} = - \frac{x}{| x |}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |} = - \frac{x}{| x |}$ per $| x + 1 | | x |$ .

$- \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |} (| x + 1 | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| x + 1 | | x |)$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $| x + 1 |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |}$ nel numeratore.

$\frac{- 3 (x + 1)}{| x + 1 |} (| x + 1 | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| x + 1 | | x |)$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Scomponi $| x + 1 |$ da $| x + 1 | | x |$ .

$\frac{- 3 (x + 1)}{| x + 1 |} (| x + 1 | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| x + 1 | | x |)$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 (x + 1)}{| x + 1 |} (| x + 1 | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| x + 1 | | x |)$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 3 (x + 1) | x | = - \frac{x}{| x |} (| x + 1 | | x |)$

Passaggio 1.2.4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$(- 3 x - 3 \cdot 1) | x | = - \frac{x}{| x |} (| x + 1 | | x |)$

Passaggio 1.2.4.2.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$(- 3 x - 3) | x | = - \frac{x}{| x |} (| x + 1 | | x |)$

Passaggio 1.2.4.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 x | x | - 3 | x | = - \frac{x}{| x |} (| x + 1 | | x |)$

Passaggio 1.2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1

Elimina il fattore comune di $| x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x}{| x |}$ nel numeratore.

$- 3 x | x | - 3 | x | = \frac{- x}{| x |} (| x + 1 | | x |)$

Passaggio 1.2.4.3.1.2

Scomponi $| x |$ da $| x + 1 | | x |$ .

$- 3 x | x | - 3 | x | = \frac{- x}{| x |} (| x | | x + 1 |)$

Passaggio 1.2.4.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$- 3 x | x | - 3 | x | = \frac{- x}{| x |} (| x | | x + 1 |)$

Passaggio 1.2.4.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 3 x | x | - 3 | x | = - x | x + 1 |$

Passaggio 1.2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Riscrivi l'equazione come $- x | x + 1 | = - 3 x | x | - 3 | x |$ .

$- x | x + 1 | = - 3 x | x | - 3 | x |$

Passaggio 1.2.5.2

Dividi per $- x$ ciascun termine in $- x | x + 1 | = - 3 x | x | - 3 | x |$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Dividi per $- x$ ciascun termine in $- x | x + 1 | = - 3 x | x | - 3 | x |$ .

$\frac{- x | x + 1 |}{- x} = \frac{- 3 x | x |}{- x} + \frac{- 3 | x |}{- x}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x | x + 1 |}{x} = \frac{- 3 x | x |}{- x} + \frac{- 3 | x |}{- x}$

Passaggio 1.2.5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x | x + 1 |}{x} = \frac{- 3 x | x |}{- x} + \frac{- 3 | x |}{- x}$

Passaggio 1.2.5.2.2.2.2

Dividi $| x + 1 |$ per $1$ .

$| x + 1 | = \frac{- 3 x | x |}{- x} + \frac{- 3 | x |}{- x}$

Passaggio 1.2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$| x + 1 | = \frac{- 3 x | x |}{- x} + \frac{- 3 | x |}{- x}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| x + 1 | = \frac{- 3 | x |}{- 1} + \frac{- 3 | x |}{- x}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 3 | x |}{- 1}$ .

$| x + 1 | = - 1 \cdot (- 3 | x |) + \frac{- 3 | x |}{- x}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (- 3 | x |)$ come $- (- 3 | x |)$ .

$| x + 1 | = - (- 3 | x |) + \frac{- 3 | x |}{- x}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$| x + 1 | = 3 | x | + \frac{- 3 | x |}{- x}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.4

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$| x + 1 | = 3 | x | + \frac{3 | x |}{x}$

Passaggio 1.2.6

Risolvi per $| x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Riscrivi l'equazione come $3 | x | + \frac{3 | x |}{x} = | x + 1 |$ .

$3 | x | + \frac{3 | x |}{x} = | x + 1 |$

Passaggio 1.2.6.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x, 1$

Passaggio 1.2.6.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 1.2.6.3

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $3 | x | + \frac{3 | x |}{x} = | x + 1 |$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.3.1

Moltiplica ogni termine in $3 | x | + \frac{3 | x |}{x} = | x + 1 |$ per $x$ .

$3 | x | x + \frac{3 | x |}{x} x = | x + 1 | x$

Passaggio 1.2.6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 | x | x + \frac{3 | x |}{x} x = | x + 1 | x$

Passaggio 1.2.6.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 | x | x + 3 | x | = | x + 1 | x$

Passaggio 1.2.6.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.4.1

Scomponi $3 | x |$ da $3 | x | x + 3 | x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.4.1.1

Scomponi $3 | x |$ da $3 | x | x$ .

$3 | x | x + 3 | x | = | x + 1 | x$

Passaggio 1.2.6.4.1.2

Scomponi $3 | x |$ da $3 | x |$ .

$3 | x | x + 3 | x | \cdot 1 = | x + 1 | x$

Passaggio 1.2.6.4.1.3

Scomponi $3 | x |$ da $3 | x | x + 3 | x | \cdot 1$ .

$3 | x | (x + 1) = | x + 1 | x$

Passaggio 1.2.6.4.2

Dividi per $3 (x + 1)$ ciascun termine in $3 | x | (x + 1) = | x + 1 | x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.4.2.1

Dividi per $3 (x + 1)$ ciascun termine in $3 | x | (x + 1) = | x + 1 | x$ .

$\frac{3 | x | (x + 1)}{3 (x + 1)} = \frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)}$

Passaggio 1.2.6.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 | x | (x + 1)}{3 (x + 1)} = \frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)}$

Passaggio 1.2.6.4.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{| x | (x + 1)}{x + 1} = \frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)}$

Passaggio 1.2.6.4.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| x | (x + 1)}{x + 1} = \frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)}$

Passaggio 1.2.6.4.2.2.2.2

Dividi $| x |$ per $1$ .

$| x | = \frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)}$

Passaggio 1.2.7

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (\frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)})$

Passaggio 1.2.8

Il risultato è costituito dalle porzioni positive e negative di $\pm$ .

$x = \frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)}$

$x = - (\frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)})$

Passaggio 1.2.9

Risolvi $x = \frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Risolvi per $| x + 1 |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)} = x$ .

$\frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)} = x$

Passaggio 1.2.9.1.2

Moltiplica ogni lato per $3 (x + 1)$ .

$\frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)} (3 (x + 1)) = x (3 (x + 1))$

Passaggio 1.2.9.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.3.1.1

Semplifica $\frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)} (3 (x + 1))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.3.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)} (x + 1) = x (3 (x + 1))$

Passaggio 1.2.9.1.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{| x + 1 | x}{3 (x + 1)} (x + 1) = x (3 (x + 1))$

Passaggio 1.2.9.1.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{| x + 1 | x}{x + 1} (x + 1) = x (3 (x + 1))$

Passaggio 1.2.9.1.3.1.1.3

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.3.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| x + 1 | x}{x + 1} (x + 1) = x (3 (x + 1))$

Passaggio 1.2.9.1.3.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$| x + 1 | x = x (3 (x + 1))$

Passaggio 1.2.9.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.3.2.1

Semplifica $x (3 (x + 1))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.3.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$| x + 1 | x = 3 x (x + 1)$

Passaggio 1.2.9.1.3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$| x + 1 | x = 3 x \cdot x + 3 x \cdot 1$

Passaggio 1.2.9.1.3.2.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.3.2.1.3.1

Sposta $x$ .

$| x + 1 | x = 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 1$

Passaggio 1.2.9.1.3.2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$| x + 1 | x = 3 x^{2} + 3 x \cdot 1$

Passaggio 1.2.9.1.3.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$| x + 1 | x = 3 x^{2} + 3 x$

Passaggio 1.2.9.1.4

Dividi per $x$ ciascun termine in $| x + 1 | x = 3 x^{2} + 3 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.4.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $| x + 1 | x = 3 x^{2} + 3 x$ .

$\frac{| x + 1 | x}{x} = \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{3 x}{x}$

Passaggio 1.2.9.1.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| x + 1 | x}{x} = \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{3 x}{x}$

Passaggio 1.2.9.1.4.2.1.2

Dividi $| x + 1 |$ per $1$ .

$| x + 1 | = \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{3 x}{x}$

Passaggio 1.2.9.1.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.4.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$| x + 1 | = \frac{x (3 x)}{x} + \frac{3 x}{x}$

Passaggio 1.2.9.1.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.4.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$| x + 1 | = \frac{x (3 x)}{x^{1}} + \frac{3 x}{x}$

Passaggio 1.2.9.1.4.3.1.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$| x + 1 | = \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} + \frac{3 x}{x}$

Passaggio 1.2.9.1.4.3.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$| x + 1 | = \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} + \frac{3 x}{x}$

Passaggio 1.2.9.1.4.3.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$| x + 1 | = \frac{3 x}{1} + \frac{3 x}{x}$

Passaggio 1.2.9.1.4.3.1.1.2.5

Dividi $3 x$ per $1$ .

$| x + 1 | = 3 x + \frac{3 x}{x}$

Passaggio 1.2.9.1.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.4.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$| x + 1 | = 3 x + \frac{3 x}{x}$

Passaggio 1.2.9.1.4.3.1.2.2

Dividi $3$ per $1$ .

$| x + 1 | = 3 x + 3$

Passaggio 1.2.9.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm (3 x + 3)$

Passaggio 1.2.9.3

Il risultato è costituito dalle porzioni positive e negative di $\pm$ .

$x + 1 = 3 x + 3$

$x + 1 = - (3 x + 3)$

Passaggio 1.2.9.4

Risolvi $x + 1 = 3 x + 3$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.4.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.4.1.1

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x + 1 - 3 x = 3$

Passaggio 1.2.9.4.1.2

Sottrai $3 x$ da $x$ .

$- 2 x + 1 = 3$

Passaggio 1.2.9.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = 3 - 1$

Passaggio 1.2.9.4.2.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$- 2 x = 2$

Passaggio 1.2.9.4.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.4.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Passaggio 1.2.9.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Passaggio 1.2.9.4.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{- 2}$

Passaggio 1.2.9.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.4.3.3.1

Dividi $2$ per $- 2$ .

$x = - 1$

Passaggio 1.2.9.5

Consolida le soluzioni.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.10

Trova il dominio di $\frac{x}{| x |} - \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Imposta il denominatore in $\frac{x}{| x |}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$| x | = 0$

Passaggio 1.2.10.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.2.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Passaggio 1.2.10.2.2

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.10.3

Imposta il denominatore in $\frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$| x + 1 | = 0$

Passaggio 1.2.10.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.4.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm 0$

Passaggio 1.2.10.4.2

Più o meno $0$ è $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.10.4.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.10.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 1.2.11

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Passaggio 1.2.12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.12.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 1.2.12.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{- 4}{| - 4 |} - \frac{3 ((- 4) + 1)}{| (- 4) + 1 |} = 0$

Passaggio 1.2.12.1.3

Il lato sinistro $2$ non è uguale al lato destro $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 1.2.12.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 0.5$

Passaggio 1.2.12.2.2

Sostituisci $x$ con $- 0.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{- 0.5}{| - 0.5 |} - \frac{3 ((- 0.5) + 1)}{| (- 0.5) + 1 |} = 0$

Passaggio 1.2.12.2.3

Il lato sinistro $- 4$ non è uguale al lato destro $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 1.2.12.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.12.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 1.2.12.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{| 2 |} - \frac{3 ((2) + 1)}{| (2) + 1 |} = 0$

Passaggio 1.2.12.3.3

Il lato sinistro $- 2$ non è uguale al lato destro $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 1.2.12.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Falso

Passaggio 1.2.13

Poiché nessun numero rientra nell'intervallo, questa diseguaglianza non ha soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Imposta il denominatore in $\frac{x}{| x |}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$| x | = 0$

Passaggio 1.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Passaggio 1.3.2.2

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.3.3

Imposta il denominatore in $\frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$| x + 1 | = 0$

Passaggio 1.3.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm 0$

Passaggio 1.3.4.2

Più o meno $0$ è $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.3.4.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.3.5

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 1, x = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $| x | - 3 | x + 1 |$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$| - 1 | - 3 | (- 1) + 1 |$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 1$ e $0$ è $1$ .

$1 - 3 | (- 1) + 1 |$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$1 - 3 | 0 |$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$1 - 3 \cdot 0$

Passaggio 1.4.1.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.4.1.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$| 0 | - 3 | (0) + 1 |$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$0 - 3 | (0) + 1 |$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Somma $0$ e $1$ .

$0 - 3 | 1 |$

Passaggio 1.4.2.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Passaggio 1.4.2.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$0 - 3$

Passaggio 1.4.2.2.2

Sottrai $3$ da $0$ .

$- 3$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(- 1, 1), (0, - 3)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

$| - 2 | - 3 | (- 2) + 1 |$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 2$ e $0$ è $2$ .

$2 - 3 | (- 2) + 1 |$

Passaggio 2.1.2.1.2

Somma $- 2$ e $1$ .

$2 - 3 | - 1 |$

Passaggio 2.1.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 1$ e $0$ è $1$ .

$2 - 3 \cdot 1$

Passaggio 2.1.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$2 - 3$

Passaggio 2.1.2.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$- 1$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$| 2 | - 3 | (2) + 1 |$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$2 - 3 | (2) + 1 |$

Passaggio 2.2.2.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$2 - 3 | 3 |$

Passaggio 2.2.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$2 - 3 \cdot 3$

Passaggio 2.2.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$2 - 9$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $9$ da $2$ .

$- 7$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 2, - 1), (2, - 7)$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(- 1, 1)$

Minimo assoluto: $(2, - 7)$

Passaggio 4