Calcolo Esempi

$\int_{- 3}^{4} (2 e^{- 3 x} - 3 e^{x}) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int_{- 3}^{4} 2 e^{- 3 x} - 3 e^{x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 3}^{4} 2 e^{- 3 x} d x + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{- 3}^{4} e^{- 3 x} d x + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Passaggio 4

Sia $u = - 3 x$ . Allora $d u = - 3 d x$ , quindi $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = - 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3$

Passaggio 4.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = - 3 x$ .

$u_{lower} = - 3 \cdot - 3$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$u_{lower} = 9$

Passaggio 4.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = - 3 x$ .

$u_{upper} = - 3 \cdot 4$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$u_{upper} = - 12$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = - 12$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{9}^{- 12} e^{u} \frac{1}{- 3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int_{9}^{- 12} e^{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Passaggio 5.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{9}^{- 12} - \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (- \int_{9}^{- 12} \frac{e^{u}}{3} d u) + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Passaggio 7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \int_{9}^{- 12} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- 2 (\frac{1}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u) + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Passaggio 9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Passaggio 10

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Passaggio 11

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} - 3 \int_{- 3}^{4} e^{x} d x$

Passaggio 12

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} - 3 (e^{x}]_{- 3}^{4})$

Passaggio 13

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Calcola $e^{u}$ per $- 12$ e per $9$ .

$- \frac{2}{3} ((e^{- 12}) - e^{9}) - 3 (e^{x}]_{- 3}^{4})$

Passaggio 13.2

Calcola $e^{x}$ per $4$ e per $- 3$ .

$- \frac{2}{3} ((e^{- 12}) - e^{9}) - 3 ((e^{4}) - e^{- 3})$

Passaggio 13.3

Rimuovi le parentesi.

$- \frac{2}{3} (e^{- 12} - e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2}{3} e^{- 12} - \frac{2}{3} (- e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Passaggio 14.1.2

$e^{- 12}$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} (- e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Passaggio 14.1.3

Moltiplica $- \frac{2}{3} (- e^{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + 1 (\frac{2}{3}) e^{9} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Passaggio 14.1.3.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + \frac{2}{3} e^{9} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Passaggio 14.1.3.3

$\frac{2}{3}$ e $e^{9}$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Passaggio 14.1.4

Sposta $e^{- 12}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Passaggio 14.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} - 3 (- e^{- 3})$

Passaggio 14.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + 3 e^{- 3}$

Passaggio 14.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + 3 \frac{1}{e^{3}}$

Passaggio 14.2.2

$3$ e $\frac{1}{e^{3}}$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + \frac{3}{e^{3}}$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + \frac{3}{e^{3}}$

Forma decimale:

$5238.41085872 \dots$

Passaggio 16