Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} x \sin (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (x) d x$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$ per $1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Passaggio 4

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ e $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Calcola $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ per $\frac{3 π}{2}$ e per $\frac{π}{2}$ .

$(\frac{3 π}{2} (- \cos (\frac{3 π}{2})) + \sin (\frac{3 π}{2})) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 5.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

$\frac{3 π}{2}$ e $\cos (\frac{3 π}{2})$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 5.2.2.2

$\frac{π}{2}$ e $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 5.2.2.3

Per scrivere $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 5.2.2.4

$- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \frac{- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 5.2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 5.2.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 5.3.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $π$ per $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 5.3.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 (0)}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 5.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 5.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 5.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 5.3.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- 0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 5.3.6

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 \cdot 1}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 5.3.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 5.3.8

Per scrivere $\sin (\frac{3 π}{2})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 5.3.9

$\sin (\frac{3 π}{2})$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \frac{\sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.3.11

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + 2 \cdot \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Passaggio 5.3.12

Scomponi $- 1$ da $- 3 π \cos (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Passaggio 5.3.13

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Passaggio 5.3.14

Scomponi $- 1$ da $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2)$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Passaggio 5.3.15

Scomponi $- 1$ da $2 \sin (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Passaggio 5.3.16

Scomponi $- 1$ da $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Passaggio 5.3.17

Riscrivi $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ come $- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ .

$\frac{- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Passaggio 5.3.18

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Passaggio 5.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- \frac{3 π \cos (\frac{π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Passaggio 5.4.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$- \frac{3 π \cdot 0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Passaggio 5.4.3

Moltiplica $3 π \cdot 0$ .

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Passaggio 5.4.3.1

Moltiplica $0$ per $3$ .

$- \frac{0 π + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Passaggio 5.4.3.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Passaggio 5.4.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- \frac{0 + 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2}$

Passaggio 5.4.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 (- 1 \cdot 1)}{2}$

Passaggio 5.4.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 \cdot - 1}{2}$

Passaggio 5.4.7

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- \frac{0 + 2 + 2}{2}$

Passaggio 5.4.8

Elimina il fattore comune di $0 + 2 + 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.8.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 + 2}{2}$

Passaggio 5.4.8.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2}{2}$

Passaggio 5.4.8.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2}{2}$

Passaggio 5.4.8.4

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2 \cdot 1}{2}$

Passaggio 5.4.8.5

Scomponi $2$ da $2 \cdot (0 + 1) + 2 (1)$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2}$

Passaggio 5.4.8.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.8.6.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 (1)}$

Passaggio 5.4.8.6.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.4.8.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{0 + 1 + 1}{1}$

Passaggio 5.4.8.6.4

Dividi $0 + 1 + 1$ per $1$ .

$- (0 + 1 + 1)$

Passaggio 5.4.9

Somma $0$ e $1$ .

$- (1 + 1)$

Passaggio 5.4.10

Somma $1$ e $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Passaggio 5.4.11

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2$