Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} 2 x (1 + x^{2}) d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 1.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 1^{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = 1 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{lower} = 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{2}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $4$ .

$u_{upper} = 5$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{2}^{5} u d u$

Passaggio 2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{2}^{5}$

Passaggio 3

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola $\frac{1}{2} u^{2}$ per $5$ e per $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 5^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Passaggio 3.2.2

$\frac{1}{2}$ e $25$ .

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Passaggio 3.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{25}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.2.5

$- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{- 4}{2}$

Passaggio 3.2.6

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Passaggio 3.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Passaggio 3.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{25}{2} + \frac{- 2}{1}$

Passaggio 3.2.6.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$\frac{25}{2} - 2$

Passaggio 3.2.7

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.2.8

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{25 - 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.2.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.10.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{25 - 4}{2}$

Passaggio 3.2.10.2

Sottrai $4$ da $25$ .

$\frac{21}{2}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{21}{2}$

Forma decimale:

$10.5$

Forma numero misto:

$10 \frac{1}{2}$

Passaggio 5