Calcolo Esempi

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ come ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Passaggio 3.2

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 y)$

Passaggio 3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} y$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} y$

Passaggio 4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} y$

Passaggio 4.2.3

$y$ e $\frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{y \cdot 2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$- \frac{2 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$