Calcolo Esempi

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ come ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Passaggio 1.2.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3}{2}}]$

Passaggio 1.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $- 3$ .

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 7.2

${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ e $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 7.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 7.3.2

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x + 0)$

Passaggio 11

Semplifica i termini.

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Passaggio 11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x)$

Passaggio 11.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

Passaggio 11.3

$- 2$ e $\frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

Passaggio 11.4

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{- 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

Passaggio 11.5

$\frac{- 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 6 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 11.6

Scomponi $2$ da $- 6 x$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 12

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 12.1

Scomponi $2$ da $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}$

Passaggio 12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$