Calcolo Esempi

$\int_{0}^{a^{\frac{1}{2}}} x^{3} \sqrt{a^{2} - x^{4}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = a^{2} - x^{4}$ . Allora $d u = - 4 x^{3} d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = a^{2} - x^{4}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $a^{2} - x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{4}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a^{2} - x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $a^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$0 - (4 x^{3})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$0 - 4 x^{3}$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $4 x^{3}$ da $0$ .

$- 4 x^{3}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = a^{2} - x^{4}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{4}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $a^{2}$ e $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = a^{2} - x^{4}$ .

$u_{upper} = a^{2} - {(a^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${(a^{\frac{1}{2}})}^{4}$ .

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Passaggio 1.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Passaggio 1.5.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}$

Passaggio 1.5.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}$

Passaggio 1.5.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $a^{2}$ da $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 4} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Passaggio 2.2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{4} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

Passaggio 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $0$ e per $a^{2}$ .

$- \frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.5

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $0$ .

$- \frac{1}{4} (0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7.2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 7.2.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 7.2.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{4} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 7.2.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{4} (0 - \frac{2}{3} a^{3})$

Passaggio 7.2.7

Sottrai $\frac{2}{3} a^{3}$ da $0$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{2}{3} a^{3})$

Passaggio 7.2.8

$a^{3}$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{a^{3} \cdot 2}{3})$

Passaggio 7.2.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Passaggio 7.2.10

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Passaggio 7.2.11

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{a^{3} \cdot 2}{3}$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{4 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.12

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{12}$

Passaggio 7.2.13

Sposta $2$ alla sinistra di $a^{3}$ .

$\frac{2 \cdot a^{3}}{12}$

Passaggio 7.2.14

Elimina il fattore comune di $2$ e $12$ .

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Passaggio 7.2.14.1

Scomponi $2$ da $2 a^{3}$ .

$\frac{2 (a^{3})}{12}$

Passaggio 7.2.14.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.14.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 7.2.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 7.2.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{a^{3}}{6}$

Passaggio 8

Riordina i termini.

$\frac{1}{6} a^{3}$

Passaggio 9

$\frac{1}{6}$ e $a^{3}$ .

$\frac{a^{3}}{6}$