Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Passaggio 1.2.3

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Passaggio 1.2.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Passaggio 1.2.5.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Passaggio 1.2.5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Passaggio 1.3.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} \tan (2 x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Passaggio 1.3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Passaggio 1.3.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Passaggio 1.3.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Passaggio 1.3.6

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Passaggio 1.3.7

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 \cdot 0) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Passaggio 1.3.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 \cdot 0) - 2 \cdot 0^{3}}$

Passaggio 1.3.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{3 \tan (0) - 2 \cdot 0^{3}}$

Passaggio 1.3.8.1.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 - 2 \cdot 0^{3}}$

Passaggio 1.3.8.1.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0^{3}}$

Passaggio 1.3.8.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.8.1.5

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 1.3.8.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.8.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.9

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{3 \tan (2 x) - 2 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{- x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.3.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.3.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + 0}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.5

Somma $- e^{- x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 \tan (2 x) - 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \tan (2 x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.7.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.7.2.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.7.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.7.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.7.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.7.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.7.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (2 \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.7.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Passaggio 3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.8.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) - 2 (3 x^{2})}$

Passaggio 3.8.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) - 6 x^{2}}$

Passaggio 3.9

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 4

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - e^{- x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 5

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 6

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{- e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 7

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- lim_{x \to 0} 6 x^{2} + lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 9

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 10

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 11

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Passaggio 12

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (2 x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2}}$

Passaggio 13

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Passaggio 14

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 15

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{- e^{0}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 15.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{- e^{0}}{- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 15.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{- e^{0}}{- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Passaggio 16

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Passaggio 16.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{- 6 \cdot 0 + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Passaggio 16.2.2

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Passaggio 16.2.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \sec^{2} (0)}$

Passaggio 16.2.4

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \cdot 1^{2}}$

Passaggio 16.2.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \cdot 1}$

Passaggio 16.2.6

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6}$

Passaggio 16.2.7

Somma $0$ e $6$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{6}$

Passaggio 16.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1}{6}$

Passaggio 16.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{6}$