Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\ln (2)} x e^{- x} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{\ln (2)} - e^{- x} d x$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - - \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + 1 \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$ per $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Passaggio 4

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = - x$ .

$u_{upper} = - \ln (2)$

Passaggio 4.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

Passaggio 4.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $x (- e^{- x})$ per $\ln (2)$ e per $0$ .

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

Passaggio 7.2

Calcola $e^{u}$ per $- \ln (2)$ e per $0$ .

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- e^{0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Passaggio 7.3.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 \cdot - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Passaggio 7.3.4

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Passaggio 7.3.5

Somma $\ln (2) (- e^{- \ln (2)})$ e $0$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Passaggio 7.3.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 7.3.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Passaggio 8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1

Semplifica $- \ln (2)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$\ln (2) (- e^{\ln (2^{- 1})}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Passaggio 8.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\ln (2) (- 2^{- 1}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Passaggio 8.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (2) (- \frac{1}{2}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Passaggio 8.4

$\ln (2)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Passaggio 8.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.5.1

Semplifica $- \ln (2)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1)$

Passaggio 8.5.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (2^{- 1} - 1)$

Passaggio 8.5.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1)$

Passaggio 8.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 8.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Passaggio 8.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 8.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 2}{2}$

Passaggio 8.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{- 1}{2}$

Passaggio 8.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\ln (2)}{2} - - \frac{1}{2}$

Passaggio 8.11

Moltiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 8.11.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Passaggio 8.11.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.15342640 \dots$

Passaggio 10