Calcolo Esempi

$y = \frac{3 x^{3} + 5}{3 + 2 x}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{3} + 5}{3 + 2 x})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x^{3} + 5$ e $g (x) = 3 + 2 x$ .

$\frac{(3 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5] - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(3 + 2 x) (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(3 + 2 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{(3 + 2 x) (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{(3 + 2 x) (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(3 + 2 x) (9 x^{2} + 0) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.6.1

Somma $9 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{(3 + 2 x) (9 x^{2}) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6.2

Sposta $9$ alla sinistra di $3 + 2 x$ .

$\frac{9 \cdot (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2.10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2.11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5) \cdot 1}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2.13

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5)}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(9 \cdot 3 + 9 (2 x)) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5)}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 \cdot 3 x^{2} + 9 (2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5)}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 \cdot 3 x^{2} + 9 (2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.4.1.1

Moltiplica $9$ per $3$ .

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.4.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 (x^{2} x)) - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 3.3.4.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 (x^{2} x^{1})) - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 x^{2 + 1}) - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 x^{3}) - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{27 x^{2} + 18 x^{3} - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.4

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{27 x^{2} + 18 x^{3} - 6 x^{3} - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.5

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$\frac{27 x^{2} + 18 x^{3} - 6 x^{3} - 10}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.2

Sottrai $6 x^{3}$ da $18 x^{3}$ .

$\frac{27 x^{2} + 12 x^{3} - 10}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Riordina i termini.

$\frac{12 x^{3} + 27 x^{2} - 10}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{12 x^{3} + 27 x^{2} - 10}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 x^{3} + 27 x^{2} - 10}{{(2 x + 3)}^{2}}$